031-理论方法-Bernoulli试验与概型

知识点概述

Bernoulli试验（伯努利试验）是指只有两种可能结果（通常称为“成功”和“失败”）的单次随机试验。将Bernoulli试验独立重复n次，就构成了n重Bernoulli试验，也称为Bernoulli概型（伯努利概型），这是概率论中最基本、最重要的概率模型之一。

教材原文

(教材在2.2节标题“Bernoulli 概型及其中的离散型分布”中引入了该概念，并在后续内容中直接应用，其定义是隐含的。)

一个典型的Bernoulli试验是抛掷一次硬币，其结果要么是“正面”，要么是“反面”。

n重Bernoulli试验 (Bernoulli概型) 的核心特征:

1. 重复性: 包含 $n$ 次重复的试验。
2. 独立性: 各次试验的结果相互独立。
3. 二元结果: 每次试验只有两个可能的结果，记为“成功” (S) 和“失败” (F)。
4. 概率恒定: 在每次试验中，“成功”的概率 $p$ 保持不变，“失败”的概率则为 $q=1-p$。

详细解释

1. 单次Bernoulli试验:

   • 这是最简单的随机试验模型。
   • 例子: 抛一次硬币、一次产品检验是否合格、一次射击是否命中目标。
   • 通常用一个随机变量来表示其结果，例如，令 $\xi =1$ 代表成功，$\xi =0$ 代表失败。其概率分布为： $P(\xi =1)=p$ $P(\xi =0)=1-p$

2. n重Bernoulli试验 (Bernoulli概型):

   • 这是对单次Bernoulli试验的扩展，是研究一系列独立重复试验的基础。
   • 样本空间: 样本空间由所有长度为 $n$ 的、由“成功”(S)和“失败”(F)组成的序列构成。总共有 $2^n$ 个样本点。
   • 样本点概率: 由于各次试验是独立的，任何一个特定的结果序列（例如，SSFSSFS…）的概率都可以通过将每次试验结果的概率相乘得到。例如，一个含有 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败的特定序列，其发生的概率为 $p^k(1-p{)}^{n-k}$。

3. 核心问题: 在Bernoulli概型中，我们最关心的问题通常是“在 $n$ 次试验中，‘成功’恰好发生 $k$ 次的概率是多少？”

   • 这个问题是032-理论方法-二项分布的核心。
   • 求解思路:
     1. 首先，确定一个包含 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败的特定序列（如前 $k$ 次成功，后 $n-k$ 次失败）的概率，即 $p^k(1-p{)}^{n-k}$。
     2. 然后，计算这样的序列总共有多少种。这相当于从 $n$ 个位置中选出 $k$ 个位置来放置“成功”，组合数即为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$。
     3. 由于这些不同的序列是互斥事件，将它们的概率相加，就得到总概率为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$。

学习要点

• 牢记Bernoulli概型的四个条件：重复、独立、二元结果、概率恒定。
• 能够判断一个实际问题是否可以被建模为Bernoulli概型。
• 理解在Bernoulli概型中，任何一个具体的、包含 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败的结果序列，其概率都是 $p^k(1-p{)}^{n-k}$。
• Bernoulli概型是学习二项分布、几何分布、负二项分布等重要离散分布的基础。

实践应用

• 产品质量控制: 连续抽检 $n$ 个产品，每次抽检都是一次Bernoulli试验（合格/不合格）。整个过程构成Bernoulli概型，可以用来计算次品数的概率分布。
• 通信系统: 在一个有噪声的信道中连续发送 $n$ 个比特，每个比特被正确接收的概率为 $p$。这可以建模为Bernoulli概型，用于分析误码率。
• 生物遗传: 假设某种遗传性状出现的概率为 $p$，观察 $n$ 个后代，每个后代是否表现该性状可视为一次Bernoulli试验。
• 体育比赛: 一系列罚球或投篮，如果假设每次投篮的命中率恒定且不受前后次影响，也可以近似看作Bernoulli概型。

关联知识点

• 前置知识:
  • 025-核心概念-试验的独立性
• 后续知识:
  • 032-理论方法-二项分布 (n次试验中成功k次的次数分布)
  • 033-理论方法-几何分布 (首次成功所需试验次数的分布)
  • 034-理论方法-Pascal分布(负二项分布) (第r次成功所需试验次数的分布)