知识点概述

相关系数（Correlation Coefficient），又称皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），是用于度量两个随机变量之间线性关系强度和方向的标准化指标。它解决了协方差受变量尺度影响的问题，是描述变量间关系最常用的数字特征之一。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，在教材中通常紧随协方差之后。)

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差 $D (X)$ 和 $D (Y)$ 都存在且不为0。它们的相关系数 $h o_{X Y}$ (或 $e x t C orr (X, Y)$ ) 定义为它们的协方差除以它们各自标准差的乘积。 $ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} = \frac{Cov ( X , Y )}{σ _{X} σ _{Y}}$
直观理解: 相关系数本质上是一个标准化（归一化）的协方差。协方差的单位是X的单位乘以Y的单位，其数值会随着X或Y的单位变化而变化，不便于比较。通过除以各自的标准差，相关系数变成了一个无量纲的纯数，其取值范围被固定在 $[- 1, 1]$ 之内。

取值范围: $- 1 \leq ρ_{X Y} \leq 1$ 。
数值的含义:
- $h o_{X Y} > 0$ : 表示 $X$ 和 $Y$ 正线性相关。一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大。
- $h o_{X Y} < 0$ : 表示 $X$ 和 $Y$ 负线性相关。一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。
- $h o_{X Y} = 0$ : 表示 $X$ 和 $Y$ 线性不相关。但这不意味着它们一定独立，可能存在非线性关系（如 $Y = X^{2}$ ）。
- $∣ h o_{X Y} ∣ = 1$ : 表示 $X$ 和 $Y$ 之间存在完全的线性关系，即 $Y = a X + b$ 几乎必然成立。如果 $h o_{X Y} = 1$ ，则 $a > 0$ ；如果 $h o_{X Y} = - 1$ ，则 $a < 0$ 。
- $∣ h o_{X Y} ∣$ 的值越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强；越接近0，表示线性关系越弱。

独立 $⟹$ 不相关: 如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，那么 $e x t C o v (X, Y) = 0$ ，从而 $h o_{X Y} = 0$ 。即独立一定不相关。
不相关 $\neq ⟹$ 独立: 如果 $h o_{X Y} = 0$ （不相关）， $X$ 和 $Y$ 不一定相互独立。例如，设 $X \sim U (- 1, 1)$ ， $Y = X^{2}$ 。可以算出 $e x t C o v (X, Y) = 0$ ，所以 $h o_{X Y} = 0$ ，它们不相关。但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，所以它们显然不是独立的。
特例: 对于二维正态分布，不相关与独立是等价的。即如果 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，那么 $h o_{X Y} = 0$ 是 $X, Y$ 相互独立的充分必要条件。

金融: 计算不同股票收益率之间的相关系数是构建多元化投资组合、管理风险的基础。选择相关系数较低（甚至为负）的资产可以有效分散风险。
数据科学与机器学习: 在特征工程中，通过计算特征之间的相关系数矩阵，可以发现高度相关的特征。高度相关的特征可能包含冗余信息，可以考虑移除其中一个以简化模型，避免多重共线性问题。
社会科学与医学: 研究不同变量之间的关系，如“收入水平”与“教育程度”的相关性，“吸烟数量”与“患肺癌概率”的相关性等。

例题: 设 $D (X) = 9, D (Y) = 4, h o_{X Y} = 0.5$ 。求 $e x t C o v (X, Y)$ 和 $D (2 X - 3 Y)$ 。

解题思路:

求协方差 $e x t C o v (X, Y)$ :
- 根据相关系数的定义 $h o_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{σ _{X} σ _{Y}}$ 。
- $σ_{X} = D (X) = 9 = 3$ 。
- $σ_{Y} = D (Y) = 4 = 2$ 。
- $e x t C o v (X, Y) = ρ_{X Y} σ_{X} σ_{Y} = 0.5 \times 3 \times 2 = 3$ 。
求方差 $D (2 X - 3 Y)$ :
- 利用方差的性质 $D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab e x t C o v (X, Y)$ 。
- $D (2 X - 3 Y) = 2^{2} D (X) + (- 3)^{2} D (Y) + 2 (2) (- 3) e x t C o v (X, Y)$
- $D (2 X - 3 Y) = 4 D (X) + 9 D (Y) - 12 e x t C o v (X, Y)$
- 代入数值： $D (2 X - 3 Y) = 4 (9) + 9 (4) - 12 (3) = 36 + 36 - 36 = 36$ 。