知识点概述
连续性定理（Continuity Theorem），通常指勒维连续性定理（Lévy’s Continuity Theorem），是概率论中一个深刻而强大的结果。它在依分布收敛和特征函数的逐点收敛之间建立了一座桥梁，将分析随机变量分布的收敛问题，转化为了分析其特征函数这个（通常更有良好分析性质的）函数的收敛问题。它是证明中心极限定理的基石。
教材原文
(该知识点是高等概率论的核心定理，在教材中通常作为极限定理章节的理论基础。)
详细解释
勒维连续性定理包含两个方向的论断。
设 {X_n} 是一个随机变量序列，其对应的特征函数序列为 {\phi_n(t)}。
1. (依分布收敛 \implies 特征函数收敛)
- 定理内容: 如果随机变量序列 {X_n} 依分布收敛于某个随机变量 X (X_n \xrightarrow{d} X)，那么它们对应的特征函数序列 {\phi_n(t)} 也逐点收敛于 X 的特征函数 \phi(t)。
2. (特征函数收敛 \implies 依分布收敛)
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定理内容: 如果特征函数序列 {\phi_n(t)} 逐点收敛于某个函数 \phi(t)，并且这个极限函数 \phi(t) 在 t=0 点是连续的，那么：
- 这个极限函数 \phi(t) 必然是某个随机变量 X 的特征函数。
- 原始的随机变量序列 {X_n} 依分布收敛于这个随机变量 X。
-
t=0 处连续的重要性: 这个条件至关重要。它保证了极限函数 \phi(t) 是一个“合法”的特征函数，排除了概率“泄露”到无穷远的可能性。由于任何特征函数都满足 \phi(0)=1，且在整个实数轴上一致连续，所以“在t=0处连续”这个条件是判断极限函数是否为某个真实概率分布的特征函数的关键。
综合表述
将两个方向合并，勒维连续性定理可以表述为：
随机变量序列 {X_n} 依分布收敛于随机变量 X，当且仅当，对应的特征函数序列 {\phi_n(t)} 逐点收敛于 X 的特征函数 \phi(t)。
(注：严格的表述中，反向推导需要极限函数在0点连续，但由于 \phi_X(t) 必然在0点连续，所以可以写成这种等价形式。)
学习要点
- 核心思想: 连续性定理建立了分布函数收敛与特征函数收敛之间的等价关系。
- 分析工具的转换: 它允许我们把一个关于分布函数的、相对难以处理的分析问题，转化成一个关于特征函数的、通常更容易处理的复变函数分析问题。
- 证明极限定理的“三步曲”: 利用连续性定理证明中心极限定理等结果时，通常遵循以下步骤：
- 写出序列中第n项（如标准化的和 {\frac{S_n - E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}}）的特征函数 \phi_n(t)。
- 计算当 n \to \infty 时，特征函数序列 \phi_n(t) 的极限 \phi(t)。
- 识别极限函数 \phi(t) 是哪个著名分布（如标准正态分布）的特征函数，然后根据连续性定理，断定原始随机变量序列依分布收敛于该分布。
实践应用
- 中心极限定理的证明: 这是连续性定理最经典的应用。通过计算标准化的样本均值的特征函数，并证明其极限是标准正态分布的特征函数 ，从而证明了中心极限定理。
- 泊松定理的证明: 同样可以计算二项分布 B(n,p) 在 np \to \lambda 条件下的特征函数，并证明其极限是泊松分布 P(\lambda) 的特征函数。