003-核心概念-样本空间

知识点概述

样本空间是随机试验所有可能结果的集合，集合中的每一个元素被称为样本点。它是构建概率论数学模型的基础。

教材原文

随机试验的每个可能结果称为一个样本点，全体样本点所组成的集合称为样本空间。习惯上分别用小写的 $\omega$ 与大写的 $\Omega$ 表示样本点与样本空间。如前所述，我们总假设样本空间 $\Omega$ 是已知的。

详细解释

• 背景和动机: 为了用集合论的工具来描述和分析随机试验，需要将试验的所有可能结果形式化为一个集合，这个集合就是样本空间。
• 核心原理:
  • 样本点 ($\omega$): 随机试验的每一个最基本、不可再分的结果。
  • 样本空间 ($\Omega$): 所有样本点的集合。
• 样本空间的类型:
  • 有限样本空间: 样本点个数有限。例如，掷骰子一次，$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$。
  • 可列无穷样本空间: 样本点个数可列。例如，接连射击直到命中为止，$\Omega =\{1,01,001,\dots \}$。
  • 不可列无穷样本空间: 样本点个数不可列。例如，记录某地气温，$\Omega =\{(x,y):a\le x\le y\le b\}$。

学习要点

• 理解样本点和样本空间的概念: 样本点是试验的单个结果，样本空间是所有结果的集合。
• 正确确定样本空间: 根据随机试验的具体内容，准确地写出其样本空间是解决概率问题的第一步，也是最关键的一步。样本空间的定义会直接影响后续事件的定义和概率的计算。

实践应用

• 例1.1.1 抛两枚硬币: 观察正反面，样本空间 $\Omega =\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}$。如果只关心正面个数，样本空间则为 ${\Omega }^{\prime }=\{0,1,2\}$。
• 例1.1.2 电话呼唤次数: 记录一小时内呼唤次数，样本空间 $\Omega =\{0,1,2,\dots \}$。
• 例1.1.5 记录气温: 记录最低和最高气温，样本空间 $\Omega =\{(x,y):a\le x\le y\le b\}$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 002-核心概念-随机试验
• 后续知识:
  • 004-核心概念-随机事件