005-核心概念-事件的运算与关系

知识点概述

事件作为样本空间的子集，其关系和运算遵循集合论的法则。通过事件的运算，可以将复杂事件分解为简单事件，从而简化概率计算。

教材原文

由于它们共处于同一试验之中，因而是相互联系着的。我们有必要弄清它们之间的关系，并引进事件间的运算，以便化复杂事件为简单事件，更好地解决相应的概率问题。 注意我们已经开始把概率论的基本概念纳入测度论轨道：样本空间就是集论中的空间(即全集)；样本点是空间的元素；随机事件就是可测子集…循此可沿用测度论的语言完整地叙述概率论的基本概念…

详细解释

记号	集合论含义	概率论含义	Veen图表示
$A\subset B$	A是B的子集	事件A发生必然导致事件B发生	A在B内部
$A=B$	A与B相等	A与B等价，A发生当且仅当B发生	A与B重合
$A\cup B$	并集	事件A与事件B至少有一个发生	A和B的区域合并
$A\cap B$ 或 $AB$	交集	事件A与事件B同时发生	A和B的重叠区域
$A\cap B=\varnothing$	不相交	事件A与B互不相容（互斥）	A和B无重叠区域
$\overline{A}$	余集（补集）	事件A不发生（A的对立事件或逆事件）	$\Omega$中A以外的区域
$A-B$	差集 ($A\cap \overline{B}$)	事件A发生但事件B不发生	A中不与B重叠的部分

运算定律:

• 交换律: $A\cup B=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$
• 结合律: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$, $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律: $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$, $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
• 对偶律 (De Morgan’s Laws): $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$, $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

学习要点

• 用集合语言描述事件: 熟练掌握事件关系（包含、相等）和运算（并、交、补、差）的概率含义。
• Veen图: 学会使用Veen图来直观地表示和理解事件间的关系与运算。
• 运算定律: 掌握交换律、结合律、分配律和对偶律，并能用于简化复杂的事件表达式。

实践应用

• 问题: 设A, B, C是三个事件，用事件运算表示“A, B, C中恰好发生一个”。
• 解答: $(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})\cup (\overline{A}\cap B\cap \overline{C})\cup (\overline{A}\cap \overline{B}\cap C)$

关联知识点

• 前置知识:
  • 004-核心概念-随机事件
• 后续知识:
  • 017-理论方法-概率的基本性质