007-理论方法-古典概型

知识点概述

古典概型，也称等可能概型，是概率论中最基础的一种概率模型。它适用于满足以下两个条件的随机试验：样本空间只包含有限个样本点，且每个样本点发生的可能性相同。

教材原文

如果一随机试验具有以下特点： (1) 样本空间只含有限多个样本点; (2) 各样本点出现的可能性相等, 则称此随机试验为古典型的。此时对每一事件 A $\subset \Omega$，取 $P(A)=\frac{A\text{ 中的样本点个数}}{\text{样本点总数}}=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$ 称此 $P(A)$ 为事件 A 的古典概率.

详细解释

• 背景和动机: 概率论起源于对赌博游戏的研究，如掷骰子、抽牌等，这些游戏的结果天然满足古典概型的两个条件，因此成为最早被系统研究的概率模型。
• 核心原理/两大基石:
  1. 有限性: 试验的所有可能结果是有限的，可以一一列举。
  2. 等可能性: 每个基本结果（样本点）出现的可能性被假定为完全相同。这是模型的理想化假设，来源于试验的对称性或人为规定（如均匀的骰子、充分洗过的牌）。
• 计算公式: 事件A的概率等于事件A包含的样本点数（有利场合数）除以样本空间的总样本点数（所有可能场合数）。因此，计算古典概率的核心任务就转化为计数问题。

学习要点

• 判断适用条件: 在解决问题前，必须首先判断该问题是否符合古典概型的“有限性”和“等可能性”两个条件。
• 核心步骤: 1. 定义样本空间并确认其为古典概型。 2. 数出样本空间的总点数 $n(\Omega )$。 3. 数出所求事件A包含的样本点数 $n(A)$。 4. 应用公式 $P(A)=n(A)/n(\Omega )$ 计算概率。

实践应用

• 掷骰子: 掷一枚均匀的骰子，求出现奇数的概率。样本空间 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$，有限且等可能。事件A=“出现奇数”= {1,3,5}。$P(A)=3/6=1/2$。
• 抽扑克牌: 从一副52张的扑克牌中任抽一张，求抽到K的概率。$n(\Omega )=52$, 事件A=“抽到K”包含4个样本点。$P(A)=4/52=1/13$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 003-核心概念-样本空间
  • 004-核心概念-随机事件
• 后续知识:
  • 008-技术实现-计数原理