021-理论方法-全概率公式

知识点概述

全概率公式是将复杂事件的概率计算分解为在各种互斥情况下条件概率的加权平均，是概率论中一个核心的计算工具。

教材原文

将复杂问题适当地分解为若干个简单问题而逐一解决，是人们常用的工作方法。在解决较复杂的求概率问题时，人们也希望把所涉及的复杂事件分解为简单事件之并。例如在二维几何概型中，求各事件发生的概率被归结为求平面图形的面积。而我们早就知道，在求面积时可以通过“割补法”将较复杂的图形(例如多边形)分解为若干个易求面积的简单图形(三角形)。本节介绍的全概率公式，就是借助引入各种小前提，将样本空间适当地分解为若干部分，使得在每个部分中(即在各小前提下)容易求得所要的概率。

定义1.5.1 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为一概率空间， $\{B_n\}$ 为 $\mathcal{F}$ 中两两不相容事件列(有限或可列无限多个)，使得对一切 $n$ 有 $P(B_n)>0$ ，且 ${\bigcup }_n{B}_n=\Omega$ ，则称此 $\{B_n\}$ 为 $\Omega$ 的一个分割.

定理1.5.3（全概率公式） 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为一概率空间，而 $\{B_n\}$ 为 $\Omega$ 的一个分割，则对一切 $A\in \mathcal{F}$ 有 $$P (A) = \sum_ {n} P \left(B _ {n}\right) P \left(A \mid B _ {n}\right). \tag {1.5.4}$

详细解释

1. 背景和动机: 在很多实际问题中，一个事件A的发生概率难以直接计算，但它在另一组互斥且完备的事件（即样本空间的分割）$\{B_n\}$ 发生的条件下的概率 $P(A|B_n)$ 却很容易得到。全概率公式提供了一个利用这些已知的条件概率来计算 $P(A)$ 的系统方法。
2. 核心原理: 全概率公式的核心思想是“化整为零，再聚零为整”。它将样本空间 $\Omega$ 分割成若干个互不相交的部分 $B_1,B_2,\dots ,B_n$，任何事件 $A$ 都可以表示为 $A=(A\cap B_1)\cup (A\cap B_2)\cup \cdots \cup (A\cap B_n)$。由于各 $B_n$ 互斥，各 $A\cap B_n$ 也互斥。因此，$P(A)={\sum }_{n}P(A\cap B_n)$。再利用乘法公式 $P(A\cap B_n)=P(B_n)P(A|B_n)$，即可得到全概率公式。
3. 关键步骤:
   • 识别分割: 找到一组事件 $\{B_n\}$，它们必须是两两互斥 ($B_i\cap B_j=\varnothing$ for $i\ne j$) 并且它们的并集是整个样本空间 (${\bigcup }_n{B}_n=\Omega$)。这组事件 $\{B_n\}$ 构成了对问题所有可能背景情况的完整分类。
   • 计算先验概率: 确定分割中每个事件 $B_n$ 的概率 $P(B_n)$。
   • 计算条件概率: 计算在每个 $B_n$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率 $P(A|B_n)$。
   • 加权求和: 将上述两组概率相乘后求和，得到 $P(A)={\sum }_{n}P(B_n)P(A|B_n)$。

学习要点

• 理解“样本空间的分割”的定义：互斥且完备。
• 熟练掌握全概率公式的结构和推导过程。
• 能够根据问题情境，正确地构造样本空间的分割，这是应用全概率公式的关键。

实践应用

例题: 某工厂的第1,2,3车间生产同一种产品，产量依次占0.5, 0.25, 0.25，而次品率分别为0.01, 0.01及0.02。现从这个厂的产品中任取出1件，求取到1件次品的概率。

解题思路:

1. 定义事件:
   • $A$: 取到1件次品。
   • $B_1$: 取到的产品由第1车间生产。
   • $B_2$: 取到的产品由第2车间生产。
   • $B_3$: 取到的产品由第3车间生产。
2. 识别分割: $\{B_1,B_2,B_3\}$ 构成样本空间的一个分割。
3. 确定概率:
   • 先验概率: $P(B_1)=0.5$, $P(B_2)=0.25$, $P(B_3)=0.25$。
   • 条件概率: $P(A|B_1)=0.01$, $P(A|B_2)=0.01$, $P(A|B_3)=0.02$。
4. 应用公式: $P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)$ $P(A)=(0.5)(0.01)+(0.25)(0.01)+(0.25)(0.02)=0.005+0.0025+0.005=0.0125$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 019-核心概念-条件概率
  • 020-理论方法-乘法定理
• 后续知识:
  • 022-理论方法-Bayes公式 (全概率公式是Bayes公式的分母)
• 相关知识:
  • 067-理论方法-全期望公式 (全期望公式是全概率公式在期望上的推广)