028-核心概念-分布函数及其性质

知识点概述

分布函数是描述一个随机变量概率特性的核心工具。它被定义为随机变量取值小于某个特定数值 $x$ 的概率，即 $F(x)=P(\xi <x)$。分布函数完整地刻画了随机变量在实数轴上取值的规律。

教材原文

定义2.1.3 设 $\xi$ 为概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的随机变量，称 F (x) = \mathbf {F} \left\{(- \infty , x) \right\} = P \left\{\xi < x \right\}, \quad x \in \mathbb {R}, \tag {2.1.12} 为随机变量 $\xi$ 的分布函数.

定理2.1.6 分布函数 $F(x)$ 具有：

$1^{\circ }$ 单调非降性: 任 $x_1<x_2$ 有 $F(x_1)\le F(x_2)$ ;

$2^{\circ }$ 左连续性：任 $x_0\in \mathbb{R}$ 有 ${\lim }_{x\to x_0-0}F(x)=F(x_0)$ ;

$3^{\circ }$ 规范性： $F(-\infty )={\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0,F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1.$

详细解释

1. 定义与目的:

   • 分布函数 $F(x)$ 给出了随机变量 $\xi$ 的值落在区间 $(-\infty ,x)$ 内的概率。
   • 它的目的是提供一个统一的、全面的方式来描述随机变量的概率分布，无论这个变量是离散的还是连续的。

2. 核心性质详解:

   • 单调非降性: 这是因为当 $x_1<x_2$ 时，事件 {$\xi <x_1$} 必然包含于事件 {$\xi <x_2$} 中。根据概率的单调性，前者的概率不会超过后者的概率。这意味着分布函数曲线永远不会下降。
   • 左连续性: 教材中定义的 $F(x)=P(\xi <x)$ 蕴含了左连续性。这意味着当 $x$ 从左侧逼近 $x_0$ 时，$F(x)$ 的极限值等于 $F(x_0)$。（注意：在很多其他教材中，分布函数被定义为 $F(x)=P(\xi \le x)$，这将导致函数是右连续的。这是一个常见的定义差异，但本质思想相同。） 如果函数在某点 $x_0$ 右连续但不左连续，即 $F(x_0)<{\lim }_{x\to x_0+0}F(x)$，则会产生一个跳跃，该跳跃的高度 $P(\{\xi =x_0\})=F(x_0+0)-F(x_0)$（在右连续定义下）。
   • 规范性: 这两个极限表明了随机变量的取值范围。$F(-\infty )=0$ 说明 $\xi$ 取小于任何极大负数的值的概率为0（不可能事件）。$F(+\infty )=1$ 说明 $\xi$ 的取值必然在实数范围内（必然事件）。

3. 分布函数的作用:

   • 计算区间概率: 利用分布函数，可以计算随机变量落在任意区间的概率：
     • $P(a\le \xi <b)=P(\xi <b)-P(\xi <a)=F(b)-F(a)$
     • $P(\xi =a)=P(\xi <a+ϵ)-P(\xi <a)$ 在 $ϵ\to 0^{+}$ 时的极限，对于连续变量为0，对于离散变量则为跳跃的高度。
     • $P(\xi \ge a)=1-P(\xi <a)=1-F(a)$
   • 判断变量类型: 分布函数的形状揭示了随机变量的类型。
     • 如果 $F(x)$ 是阶梯函数，则 $\xi$ 是离散型随机变量。
     • 如果 $F(x)$ 是连续函数，则 $\xi$ 是连续型随机变量。

学习要点

• 牢记分布函数的定义 $F(x)=P(\xi <x)$（或 $P(\xi \le x)$，注意区分所学教材的版本）。
• 熟练掌握并能证明分布函数的三个核心性质：单调非降、左连续（或右连续）、规范性。
• 学会使用分布函数 $F(x)$ 来计算随机变量在各种区间（如 $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, {a}）上的概率。
• 理解分布函数的图形与随机变量类型（离散/连续）之间的关系。

实践应用

例题: 某随机变量 $\xi$ 的分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ x/2,& 0<x\le 2\\ 1,& x>2\end{array}$。 求 $P(0.5\le \xi <1.5)$ 和 $P(\xi =1)$。

解题思路:

1. 计算区间概率: $P(0.5\le \xi <1.5)=P(\xi <1.5)-P(\xi <0.5)=F(1.5)-F(0.5)$ $F(1.5)=1.5/2=0.75$ $F(0.5)=0.5/2=0.25$ 所以，$P(0.5\le \xi <1.5)=0.75-0.25=0.5$。

2. 计算单点概率: $P(\xi =1)$。因为该分布函数 $F(x)$ 在 $x=1$ 处是连续的（没有跳跃），所以随机变量在任何单点取值的概率为0。 $P(\xi =1)=0$。 这表明 $\xi$ 是一个连续型随机变量。

关联知识点

• 前置知识:
  • 027-核心概念-随机变量的定义
• 后续知识:
  • 029-核心概念-离散型随机变量与密度阵
  • 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
  • 045-核心概念-联合分布函数