知识点概述

二维均匀分布是一维均匀分布在二维平面上的直接推广。它描述了一个随机向量 $(X, Y)$ 在一个有限的平面区域 $D$ 内取任何一个点都是等可能的。其概率密度在该区域内为常数，区域外为0。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容，也是几何概型的基础。)

模型与定义:
- 如果一个二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数 (Joint PDF) 在一个面积为 $A$ 的有限平面区域 $D$ 上是一个常数，而在区域 $D$ 之外为0，则称 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布。
联合概率密度函数 (Joint PDF):
- 为了满足归一性（即密度函数下总体积为1），这个常数的值必须是区域 $D$ 面积的倒数，即 $1/ A$ 。
- 因此，其联合PDF为： $f (x, y) = {\frac{1}{A}, 0, (x, y) \in D (x, y) \in / D$
- 其中 $A = \iint_{D} d x d y$ 是区域 $D$ 的面积。
计算概率:
- 随机向量 $(X, Y)$ 落入区域 $D$ 的一个子区域 $D_{1}$ 的概率为： $P ((X, Y) \in D_{1}) = \iint_{D_{1}} f (x, y) d x d y = \iint_{D_{1}} \frac{1}{A} d x d y = \frac{Area ( D _{1} )}{A}$
- 其中 $Area (D_{1})$ 是子区域 $D_{1}$ 的面积。
- 这个概率等于子区域的面积与总区域面积之比，这正是011-理论方法-几何概型的核心思想。

例题: 假设一个二维随机向量 $(X, Y)$ 在由 $x = 0, y = 0, x + y = 1$ 围成的三角形区域 $D$ 上服从均匀分布。求：

解题思路:

求联合PDF:
- 首先，计算区域 $D$ 的面积。这是一个直角三角形，两条直角边长都为1。面积 $A = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ 。
- 根据定义，联合PDF为： $f (x, y) = {\frac{1}{1/2} = 2, 0, (x, y) \in D (x, y) \in / D$
求概率 $P (X > 1/2)$ :
- 方法一：几何法
  - 我们需要计算满足条件 $x > 1/2$ 的子区域 $D_{1}$ 的面积。这个子区域是由直线 $x = 1/2, y = 0, x + y = 1$ 围成的更小的三角形。
  - 该小三角形的顶点为 $(1/2, 0), (1, 0), (1/2, 1/2)$ 。
  - 其底边长为 $1 - 1/2 = 1/2$ ，高为 $1/2$ 。
  - 子区域面积 $Area (D_{1}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 。
  - 概率 $P (X > 1/2) = \frac{Area ( D _{1} )}{Area ( D )} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$ 。
- 方法二：积分法
  - $P (X > 1/2) = \iint_{x > 1/2, (x, y) \in D} f (x, y) d x d y$
  - 积分区域为 $1/2 < x < 1$ 和 $0 < y < 1 - x$ 。
  - $\int_{1/2}^{1} \int_{0}^{1 - x} 2 d y d x = \int_{1/2}^{1} 2 (1 - x) d x = [2 x - x^{2}]_{1/2}^{1} = (2 - 1) - (1 - 1/4) = 1 - 3/4 = 1/4$ 。