056-理论方法-卷积公式

知识点概述

卷积公式（Convolution Formula）是用于计算两个独立随机变量之和的分布的强大工具。如果已知 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数（或概率质量函数），卷积公式可以直接给出 $Z=X+Y$ 的概率密度函数（或概率质量函数）。

教材原文

(教材在2.7节推导连续型随机变量之和的分布时，得出了卷积公式。)

(推导 $Z=X+Y$ 的分布) … $f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d}{dz}{F}_X(z-y)f_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$

详细解释

卷积公式根据变量类型分为连续和离散两种形式。

1. 连续型随机变量的卷积公式

• 前提: 设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数 (PDF) 分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。
• 目标: 求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$。
• 公式: $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$ 或者等价地： $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$
• 直观理解: 为了使 $Z$ 取到某个值 $z$，需要 $X$ 取某个值 $x$，同时 $Y$ 取对应的值 $z-x$。由于 $X$ 可以取遍所有可能的值，我们需要将所有这些可能情况的“概率密度”进行积分（累加）。$f_X(x)f_Y(z-x)$ 就代表了 $X=x$ 且 $Y=z-x$ 这个组合的联合“概率密度”。

2. 离散型随机变量的卷积公式

• 前提: 设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的离散型随机变量，其可能取值为整数，概率质量函数 (PMF) 分别为 $P(X=i)$ 和 $P(Y=j)$。
• 目标: 求 $Z=X+Y$ 的概率质量函数 $P(Z=k)$。
• 公式: $P(Z=k)={\sum }_{i=-\infty }^{+\infty }P(X=i)P(Y=k-i)$
• 直观理解: 为了使 $Z$ 取到整数值 $k$，需要 $X$ 取某个整数值 $i$，同时 $Y$ 取对应的值 $k-i$。我们将所有可能的整数 $i$ 的情况的概率相加。

学习要点

• 独立性是关键: 卷积公式成立的前提是两个随机变量相互独立。如果变量不独立，则不能使用此公式。
• 变量替换: 记住公式的形式，即其中一个变量用 $x$ (或 $i$) 表示，另一个用 $z-x$ (或 $k-i$) 表示。
• 积分/求和范围: 在实际计算中，积分或求和的范围通常不是负无穷到正无穷，而是由 $f_X$ 和 $f_Y$ 的非零定义域共同决定，正确确定积分/求和的上下限是计算的关键。

实践应用

例题: 设 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的、都服从参数为 $\lambda$ 的042-理论方法-指数分布的随机变量。求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。

解题思路:

1. 写出PDF: $X,Y$ 的PDF为 $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ (当 $t>0$ 时)，其他情况为0。
2. 应用卷积公式: $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$
3. 确定积分范围:
   • 被积函数 $f_X(x)f_Y(z-x)$ 要非零，必须同时满足两个条件：
     1. $x>0$ (来自 $f_X(x)$)
     2. $z-x>0⟹x<z$ (来自 $f_Y(z-x)$)
   • 同时，为了让 $x<z$ 且 $x>0$ 的范围有意义，必须有 $z>0$。
   • 因此，积分变量 $x$ 的范围是 $0<x<z$。
4. 执行积分: 对于 $z>0$： $f_Z(z)={\int }_0^z(\lambda e^{-\lambda x})(\lambda e^{-\lambda (z-x)})dx$ $f_Z(z)={\int }_0^z{\lambda }^2{e}^{-\lambda x-\lambda z+\lambda x}dx={\int }_0^z{\lambda }^2{e}^{-\lambda z}dx$ 由于 $e^{-\lambda z}$ 相对于积分变量 $x$ 是常数，可以提出： $f_Z(z)={\lambda }^2{e}^{-\lambda z}{\int }_0^{z}1dx={\lambda }^{2}z{e}^{-\lambda z}$
5. 给出完整定义: $f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}z{e}^{-\lambda z},& z>0\\ 0,& z\le 0\end{array}$ 这是一个参数为 $\alpha =2,\beta =\lambda$ 的041-理论方法-Gamma分布。这验证了“两个独立同参数指数分布之和服从伽玛分布”的结论。

关联知识点

• 前置知识:
  • 055-技术实现-连续型随机变量函数的分布
  • 052-核心概念-随机变量的独立性
• 后续知识:
  • 071-理论方法-独立和的母函数 (矩母函数或特征函数为求解独立变量之和的分布提供了另一种更简便的方法)
  • 075-核心概念-分布的再生性 (如果独立同分布的随机变量之和仍然服从该分布，则称该分布具有再生性，如正态分布、泊松分布、伽玛分布)