知识点概述

母函数（包括概率母函数PGF和矩母函数MGF）作为概率分布的一种表示，其自身具有一系列优良的性质。这些性质使得它们在处理随机变量的线性变换，特别是独立随机变量求和时，成为比直接使用密度函数或分布函数更强大的分析工具。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，在教材中通常紧随母函数的定义之后。)

以下主要以矩母函数（MGF）为例介绍其性质，概率母函数（PGF）的性质类似。设 $X, Y$ 为随机变量， $M_{X} (t)$ 和 $M_{Y} (t)$ 分别是它们的矩母函数。

性质: 如果两个随机变量的矩母函数在包含0的一个开区间内存在且相等，那么这两个随机变量具有相同的概率分布。 $M_{X} (t) = M_{Y} (t) ⟹ F_{X} (z) = F_{Y} (z)$
重要性: 这是母函数能够作为分布的“指纹”或“身份证”的理论基础。我们可以通过比较母函数是否相等来判断两个分布是否相同。

性质: 设 $Y = a X + b$ ，其中 $a, b$ 是常数。那么 $Y$ 的矩母函数 $M_{Y} (t)$ 与 $X$ 的矩母函数 $M_{X} (t)$ 的关系为： $M_{a X + b} (t) = e^{b t} M_{X} (a t)$
推导: $M_{Y} (t) = E [e^{t Y}] = E [e^{t (a X + b)}] = E [e^{a tX} e^{b t}]$ 由于 $e^{b t}$ 是常数，可以提出期望： $M_{Y} (t) = e^{b t} E [e^{(a t) X}] = e^{b t} M_{X} (a t)$ 。

性质: 如果 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，令 $Z = X + Y$ ，那么 $Z$ 的矩母函数是 $X$ 和 $Y$ 的矩母函数的乘积。 $M_{X + Y} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t)$
推导: $M_{Z} (t) = E [e^{tZ}] = E [e^{t (X + Y)}] = E [e^{tX} e^{t Y}]$ 因为 $X, Y$ 相互独立，所以 $e^{tX}$ 和 $e^{t Y}$ 也相互独立。根据期望的乘法性质： $E [e^{tX} e^{t Y}] = E [e^{tX}] E [e^{t Y}] = M_{X} (t) M_{Y} (t)$ 。
重要性: 这是母函数最核心、最强大的性质。它将求解独立变量之和的分布这个复杂的卷积运算，转化为了简单的乘法运算。这使得处理独立随机变量之和的问题变得异常简单。
该性质可以推广到任意多个相互独立的随机变量之和。

例题1: 证明泊松分布的可加性

设 $X \sim Poisson (λ_{1})$ 和 $Y \sim Poisson (λ_{2})$ 相互独立。求 $Z = X + Y$ 的分布。

解题思路:

写出各自的MGF: 在069-核心概念-母函数的定义中我们已经求得，泊松分布的MGF为 $M (t) = e^{λ (e^{t} - 1)}$ 。所以， $M_{X} (t) = e^{λ_{1} (e^{t} - 1)}$ ， $M_{Y} (t) = e^{λ_{2} (e^{t} - 1)}$ 。
应用独立和的性质: $M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t) = e^{λ_{1} (e^{t} - 1)} e^{λ_{2} (e^{t} - 1)} = e^{(λ_{1} + λ_{2}) (e^{t} - 1)}$ 。
利用唯一性识别分布: 我们发现 $Z$ 的矩母函数 $M_{Z} (t)$ 的形式与泊松分布的矩母函数完全一致，只是参数变成了 $λ_{1} + λ_{2}$ 。根据唯一性定理，我们可以断定 $Z$ 必然服从参数为 $λ_{1} + λ_{2}$ 的泊松分布。即 $Z = X + Y \sim Poisson (λ_{1} + λ_{2})$ 。（这个方法比使用离散卷积公式计算要简单得多。）

例题2: 证明正态分布的线性组合仍为正态分布

设 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，求 $Y = a X + b$ 的分布。

解题思路:

写出X的MGF: 正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的MGF为 $M_{X} (t) = e^{μ t + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}}$ 。
应用线性变换的性质: $M_{Y} (t) = M_{a X + b} (t) = e^{b t} M_{X} (a t)$ $M_{Y} (t) = e^{b t} e^{μ (a t) + \frac{1}{2} σ^{2} (a t)^{2}} = e^{b t + a μ t + \frac{1}{2} a^{2} σ^{2} t^{2}} = e^{(a μ + b) t + \frac{1}{2} (aσ)^{2} t^{2}}$ 。
利用唯一性识别分布: 我们发现 $Y$ 的矩母函数 $M_{Y} (t)$ 仍然是正态分布MGF的形式，其均值参数为 $a μ + b$ ，方差参数为 $(aσ)^{2}$ 。因此， $Y = a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2})$ 。

前置知识:
- 069-核心概念-母函数的定义
核心应用:
- 071-理论方法-独立和的母函数
后续知识:
- 072-核心概念-特征函数的定义 (特征函数具有与MGF类似的性质，且存在性更好)
- 091-核心概念-中心极限定理的定义 (中心极限定理的经典证明就是使用母函数或特征函数完成的)