045-核心概念-联合分布函数

知识点概述

联合分布函数（Joint Distribution Function），或称多维分布函数，是单个随机变量分布函数的直接推广。它用于完整地描述一个随机向量的概率特性，给出了随机向量中每个分量都小于某一组指定数值的概率。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

详细解释

1. 定义:

   • 对于一个n维随机向量 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$，其联合累积分布函数 (Joint CDF) $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 定义为： $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=P(X_1<x_1,X_2<x_2,\dots ,X_n<x_n)$ (注意：根据教材对一维分布函数的定义 $P(X<x)$，此处也用严格小于。在其他教材中可能定义为 $P(X_1\le x_1,\dots )$，这将导致函数性质变为右连续。)
   • 它表示随机向量 $\mathbf{X}$ 落在以点 $(x_1,\dots ,x_n)$ 为右上顶点的无限“左下”区域内的概率。

2. 以二维为例:

   • 对于二维随机向量 $(X,Y)$，其联合分布函数为： $F(x,y)=P(X<x,Y<y)$
   • 这代表了随机点 $(X,Y)$ 落在以 $(x,y)$ 为右上角的、向左和向下无限延伸的平面区域的概率。

3. 性质 (以二维为例):

   • 有界性: $0\le F(x,y)\le 1$。
   • 单调性: $F(x,y)$ 对每个变量都是单调非减的。即如果 $x_1<x_2$，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$；如果 $y_1<y_2$，则 $F(x,y_1)\le F(x,y_2)$。
   • 规范性 (边界条件):
     • $F(-\infty ,y)={\lim }_{x\to -\infty }F(x,y)=0$
     • $F(x,-\infty )={\lim }_{y\to -\infty }F(x,y)=0$
     • $F(+\infty ,+\infty )={\lim }_{x,y\to +\infty }F(x,y)=1$
   • 左连续性: $F(x,y)$ 对每个变量都是左连续的。
   • 矩形区域概率非负: 对于任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$，随机点 $(X,Y)$ 落在矩形 $[x_1,x_2)\times [y_1,y_2)$ 内的概率必须非负。该概率为： $P(x_1\le X<x_2,y_1\le Y<y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0$。这是多维分布函数区别于一维分布函数的关键性质。

4. 作用:

   • 联合分布函数完整地定义了随机向量的概率分布。
   • 可以用来计算随机向量落在任何（可测）区域的概率。例如，计算落在矩形区域 $[x_1,x_2)\times [y_1,y_2)$ 的概率如上述性质5所示。
   • 可以从联合分布函数中推导出046-核心概念-边缘分布函数。

学习要点

• 理解联合分布函数是累积概率的概念，它计算的是随机向量落入一个无限“左下”区域的概率。
• 掌握二维联合分布函数的定义 $F(x,y)=P(X<x,Y<y)$。
• 了解联合分布函数的基本性质，特别是单调性和边界条件。
• 掌握如何利用联合分布函数计算一个矩形区域的概率，并理解其几何意义（大矩形减去两个小矩形，再加上被重复减去的更小矩形）。

实践应用

例题: 假设二维随机向量 $(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1]\times [0,1]$ 上服从均匀分布。求其联合分布函数 $F(x,y)$。

解题思路:

1. 写出联合密度函数: 由于是均匀分布，其联合PDF为 $f(x,y)=1$（当 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$ 时），其他情况为0。
2. 积分求CDF: $F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$。
3. 分区域讨论:
   • 区域1: 如果 $x<0$ 或 $y<0$，积分区域与密度非零区域没有交集，所以 $F(x,y)=0$。
   • 区域2: 如果 $0\le x\le 1$ 且 $0\le y\le 1$，积分区域为 $[0,x]\times [0,y]$，所以 $F(x,y)={\int }_0^y{\int }_0^{x}1dudv=xy$。
   • 区域3: 如果 $x>1$ 且 $0\le y\le 1$，积分区域为 $[0,1]\times [0,y]$，所以 $F(x,y)={\int }_0^y{\int }_0^{1}1dudv=y$。
   • 区域4: 如果 $0\le x\le 1$ 且 $y>1$，积分区域为 $[0,x]\times [0,1]$，所以 $F(x,y)={\int }_0^1{\int }_0^{x}1dudv=x$。
   • 区域5: 如果 $x>1$ 且 $y>1$，积分区域为整个单位正方形 $[0,1]\times [0,1]$，所以 $F(x,y)={\int }_0^1{\int }_0^{1}1dudv=1$。

综上所述： $F(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\text{ or }y<0\\ xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ y,& x>1,0\le y\le 1\\ x,& 0\le x\le 1,y>1\\ 1,& x>1,y>1\end{array}$

关联知识点

• 前置知识:
  • 044-核心概念-随机向量
  • 028-核心概念-分布函数及其性质
• 后续知识:
  • 046-核心概念-边缘分布函数
  • 047-核心概念-二维离散型分布
  • 048-核心概念-二维连续型分布
  • 051-核心概念-条件分布