061-技术实现-常见分布的数学期望

知识点概述

计算常见概率分布的数学期望是概率论中的一项基本技能。通过应用数学期望的定义，我们可以推导出这些重要分布的均值，理解其集中趋势的度量。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，分散在各个分布的学习中。)

详细解释

1. 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

• 模型: 单次试验，成功概率为 $p$。$X=1$ 代表成功，$X=0$ 代表失败。
• PMF: $P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$。
• 期望: $E(X)=1\cdot P(X=1)+0\cdot P(X=0)=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$

2. 二项分布 (Binomial Distribution) $X\sim B(n,p)$

• 模型: $n$ 重伯努利试验中成功的次数。
• 方法一: 直接计算 $E(X)={\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$。这个计算比较复杂，需要利用 $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$ 的技巧。
• 方法二: 利用期望的线性性质 (更优) 一个二项分布的随机变量 $X$ 可以看作是 $n$ 个独立的、服从同一伯努利分布 $B(1,p)$ 的随机变量之和：$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$，其中 $E(X_i)=p$。 根据期望的线性性质： $E(X)=E(X_1+\cdots +X_n)=E(X_1)+\cdots +E(X_n)={\sum }_{i=1}^{n}p=np$

3. 几何分布 (Geometric Distribution) $X\sim G(p)$

• 模型: 首次成功所需的试验次数。
• PMF: $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\dots$
• 期望: $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}p=p{\sum }_{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}(q=1-p)$ 这是一个等比级数求导的形式，其结果为 $p\cdot \frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{p}{p^2}=\frac{1}{p}$。 $E(X)=\frac{1}{p}$
• 直观理解: 如果成功概率是 $1/10$，平均需要10次试验才能成功一次。

4. 泊松分布 (Poisson Distribution) $X\sim P(\lambda )$

• 模型: 单位时间/空间内稀有事件发生的次数。
• PMF: $P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\dots$
• 期望: $E(X)={\sum }_{k=0}^{\infty }k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda }{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}$ 令 $j=k-1$，则上式变为 $\lambda e^{-\lambda }{\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^j}{j!}=\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=\lambda$。 $E(X)=\lambda$
• 结论: 泊松分布的参数 $\lambda$ 本身就是其数学期望（平均发生次数）。

5. 均匀分布 (Uniform Distribution) $X\sim U(a,b)$

• 模型: 在区间 $(a,b)$ 内等可能性取值。
• PDF: $f(x)=\frac{1}{b-a},a<x<b$。
• 期望: $E(X)={\int }_a^{b}x\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}[\frac{1}{2}{x}^2{]}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}$
• 直观理解: 期望是区间的中点，符合“均匀”的直觉。

6. 指数分布 (Exponential Distribution) $X\sim \text{Exp}(\lambda )$

• 模型: 泊松过程中事件发生的时间间隔。
• PDF: $f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0$。
• 期望: (使用分部积分法) $E(X)={\int }_0^{\infty }x(\lambda e^{-\lambda x})dx=[-x{e}^{-\lambda x}{]}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }(-e^{-\lambda x})dx=0+[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}{]}_0^{\infty }=\frac{1}{\lambda }$
• 直观理解: 如果事件发生的平均速率是 $\lambda$ 次/秒，那么平均要等 $1/\lambda$ 秒才会发生一次。

7. 正态分布 (Normal Distribution) $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

• 模型: 自然界中广泛存在的钟形分布。
• PDF: $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
• 期望: $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\mu$ 这个积分的计算需要一些技巧（例如变量代换 $z=(x-\mu )/\sigma$ 并利用奇函数的性质），但其结果就是参数 $\mu$ 本身。参数 $\mu$ 被定义为正态分布的均值或期望。

学习要点

• 分类掌握: 将常见分布分为离散型和连续型，并分别记住其期望的计算方法和最终结果。
• 善用性质: 对于二项分布等复合模型，利用期望的线性性质是比直接使用定义计算更简单的方法。
• 理解参数: 许多分布的参数本身就具有期望的含义（如泊松分布的 $\lambda$，正态分布的 $\mu$），理解这一点有助于记忆。

关联知识点

• 前置知识:
  • 059-核心概念-数学期望的定义
  • 各种具体分布的定义
• 后续知识:
  • 062-核心概念-方差与标准差 (计算常见分布的方差)