019-核心概念-条件概率

知识点概述

条件概率是概率论中的核心概念之一，它衡量的是在已知某个事件B已经发生的前提下，另一个事件A发生的概率。它使我们能够利用新的信息来更新对事件发生可能性的判断。

教材原文

定理1.5.1 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为一概率空间， $B\in \mathcal{F}$ 且 $P(B)>0$ 。若对任何事件 $A\in \mathcal{F}$，取 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ 则作为 $\mathcal{F}$ 上之 $A$ 的集函数，$P(A|B)$ 仍满足概率定义中的 $1^{\circ }$ 非负性、$2^{\circ }$ 规范性和 $3^{\circ }$ 可列可加性。称此 $P(A|B)$ 为已知事件 B 发生后 A 的条件概率。

详细解释

• 直观理解: 当我们知道事件B已经发生时，样本空间实际上被“缩小”到了集合B。在这个新的、缩减了的样本空间中，事件A能发生的部分只有 $A\cap B$。因此，A发生的相对可能性就是 $A\cap B$ 的概率在B的概率中所占的比例。

• 定义公式: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

  • 前提: 作为条件的事件B的概率必须大于零，即 $P(B)>0$。我们不能以一个不可能发生的事件作为条件。

• 条件概率是一种概率: 对于一个固定的条件事件B，函数 $P_B(A)=P(A|B)$ 满足概率的三条公理，因此它本身就是一个新的概率测度。这意味着所有从概率公理推导出的性质（如加法公式、对立事件公式等）对条件概率同样适用。

  • $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$
  • $P(A_1\cup A_2|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)-P(A_1{A}_2|B)$

学习要点

• 牢记定义公式: 这是所有条件概率计算的出发点。
• 理解“条件”的含义: “条件”意味着信息的更新和样本空间的缩减。
• 区分 $P(AB)$ 和 $P(A|B)$: $P(AB)$ 是两个事件在原始样本空间中同时发生的概率；$P(A|B)$ 是在B发生的子空间中A发生的概率。它们通过乘法公式 $P(AB)=P(B)P(A|B)$ 联系起来。

实践应用

• 医学诊断: 已知某项检测结果为阳性（事件B），求病人确实患有某病（事件A）的概率，即 $P(A|B)$。
• 金融风控: 已知今天股市大跌（事件B），预测明天某支股票上涨（事件A）的概率。
• 推荐系统: 已知用户购买了商品X（事件B），向他推荐商品Y（事件A）的购买概率。

关联知识点

• 前置知识:
  • 014-核心概念-概率的公理化定义
• 后续知识:
  • 020-理论方法-乘法定理
  • 021-理论方法-全概率公式
  • 022-理论方法-Bayes公式
  • 051-核心概念-条件分布