030-核心概念-连续型随机变量与密度函数

知识点概述

连续型随机变量是指其可能取值充满一个区间的随机变量。与离散型变量不同，它在任何单点取值的概率为0。其概率特性由概率密度函数（Probability Density Function, PDF）描述，一个非负函数，其在某个区间上的积分等于随机变量落入该区间的概率。

教材原文

(例2.1.2) …所需燃油数 $\xi$ 是水温 $\omega$ 的函数： $\xi (\omega )=100-\omega ,\omega \in (0,100).$ …对 $x\in (0,100)$ 有 P \left\{\xi (\omega) < x \right\} = P \left\{\omega > 1 0 0 - x \right\} = \frac {x}{1 0 0}. \tag {2.1.2} 在后一个例子中， $\xi (\omega )$ 可能值不再是有限多个，而是遍布一个区间。同时由于单点集的Lebesgue测度(即长度)均为0，即恒有 $P\{\xi (\omega )=x\}=0$ 。因此不能像例2.1.1那样逐个给出 $\xi (\omega )$ 取各可能值的概率，而只能够象(2.1.2)式那样，通过 $\xi$ 落在各种区间内的概率来给出它取值变化的概率规律。

(教材通过例子引出了连续型变量的概念，并给出了其分布函数。概率密度函数是与分布函数相对应的概念。)

详细解释

1. 定义: 一个随机变量 $\xi$ 如果其分布函数 $F(x)$ 可以表示为一个非负函数 $f(t)$ 的积分形式： $F(x)=P(\xi <x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$ 则称 $\xi$ 为连续型随机变量，函数 $f(x)$ 称为 $\xi$ 的概率密度函数 (PDF)。

2. 概率密度函数 (PDF) $f(x)$:

   • 直观理解: PDF $f(x)$ 本身不是概率。它描述的是随机变量在点 $x$ 附近单位长度的区间内取值的概率密度或可能性。$f(x)$ 的值越大，意味着随机变量在该点附近取值的可能性越高。
   • 计算概率: 随机变量落在区间 $(a,b)$ 内的概率等于其PDF在该区间上的积分： $P(a<\xi <b)={\int }_a^{b}f(x)dx$ 这在几何上等于密度函数曲线下方，从 $a$ 到 $b$ 的面积。

3. PDF的性质:

   • 非负性: 对任意 $x$，有 $f(x)\ge 0$。
   • 归一性: 密度函数在整个实数轴上的积分必须等于1，代表随机变量必然取某个值的总概率为1。 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

4. 与分布函数的关系:

   • 积分关系: 分布函数 $F(x)$ 是密度函数 $f(x)$ 从负无穷到 $x$ 的积分。 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
   • 微分关系: 在 $f(x)$ 的连续点上，密度函数是分布函数的导数。 $f(x)=F^{\prime }(x)$
   • 连续型随机变量的分布函数 $F(x)$ 必然是连续函数。

5. 重要推论:

   • 对于任何连续型随机变量 $\xi$ 和任意常数 $c$，$\xi$ 在单点 $c$ 取值的概率恒为0。 $P(\xi =c)={\int }_c^{c}f(x)dx=0$
   • 因此，对于连续型随机变量，在计算区间概率时，区间的端点是包含 ($<$) 还是不包含 ($\le$) 并不影响最终的概率值。 $P(a<\xi <b)=P(a\le \xi <b)=P(a<\xi \le b)=P(a\le \xi \le b)=F(b)-F(a)$。

学习要点

• 理解连续型随机变量的取值是不可数的，充满一个或多个区间。
• 区分概率密度函数 (PDF) 和分布函数 (CDF)。PDF是“密度”，其积分是概率；CDF是“累积概率”。
• 掌握PDF的两个核心性质：非负性和积分为1。
• 理解PDF和CDF之间的微积分关系：$f(x)=F^{\prime }(x)$ 和 $F(x)=\int f(t)dt$。
• 牢记连续型随机变量在任何单点取值的概率为0。

实践应用

例题: 教材例2.1.2中，耗油量 $\xi$ 的分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{llcc}0,& x\le 0x/100,& 0<x<1001,& x\ge 100\end{array}$。求其概率密度函数 $f(x)$。

解题思路: 根据 $f(x)=F^{\prime }(x)$，我们对分布函数 $F(x)$ 分段求导：

• 当 $x<0$ 或 $x>100$ 时，$F(x)$ 是常数，所以 $f(x)=0$。
• 当 $0<x<100$ 时，$F(x)=x/100$，所以 $f(x)=1/100$。
• 在 $x=0$ 和 $x=100$ 这两个点上，导数未定义，但对于连续型变量，单点的取值不影响积分，我们可以任意定义，通常取0。

所以，概率密度函数为： $f(x)=\{\begin{array}{llc}1/100,& 0<x<1000,& \text{其他}\end{array}$ 这实际上是一个在 $(0,100)$ 上的039-理论方法-均匀分布。

关联知识点

• 前置知识:
  • 027-核心概念-随机变量的定义
  • 028-核心概念-分布函数及其性质
• 后续知识:
  • 039-理论方法-均匀分布
  • 040-理论方法-正态分布(Gauss分布)
  • 042-理论方法-指数分布
  • 059-核心概念-数学期望的定义 (连续型)