047-核心概念-二维离散型分布

知识点概述

二维离散型随机向量是指向量的两个分量 $(X,Y)$ 都是离散型随机变量。其概率特性由联合概率质量函数（Joint Probability Mass Function, Joint PMF）或联合分布列来描述，它给出了向量取每一个可能的点 $(x_i,y_j)$ 的概率。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

详细解释

1. 定义:

   • 如果一个二维随机向量 $(X,Y)$ 的所有可能取值是有限对或可列无限多对离散点 $(x_i,y_j)$，则称其为二维离散型随机向量。

2. 联合概率质量函数 (Joint PMF) / 联合分布列:

   • 描述二维离散型随机向量概率分布的工具是联合概率质量函数，通常记为 $p(x_i,y_j)$ 或 $P(X=x_i,Y=y_j)$。
   • 它直接给出了随机向量 $(X,Y)$ 取每个可能值 $(x_i,y_j)$ 的概率。
   • 联合分布列通常用一个二维表格来表示：

$Y\setminus X$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_m$	边缘概率 $P_Y(y_j)$
$y_1$	$p_{11}$	$p_{21}$	$\dots$	$p_{m1}$	$p_{\cdot 1}$
$y_2$	$p_{12}$	$p_{22}$	$\dots$	$p_{m2}$	$p_{\cdot 2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$⋮$
$y_n$	$p_{1n}$	$p_{2n}$	$\dots$	$p_{mn}$	$p_{\cdot n}$
边缘概率 $P_X(x_i)$	$p_{1\cdot }$	$p_{2\cdot }$	$\dots$	$p_{m\cdot }$	1

*   其中 $p_{ij} = P(X=x_i, Y=y_j)$。

3. Joint PMF的性质: * 非负性: 对任意一对可能值 $(x_i,y_j)$，其概率必须非负，即 $p_{ij}\ge 0$。 * 归一性: 所有可能取值的概率之和必须等于1，即 ${\sum }_i{\sum }_j{p}_{ij}=1$。

4. 边缘分布 (Marginal Distribution):

   • 从联合分布列中，可以通过求和得到每个单独变量的边缘分布。
   • $X$的边缘分布: 将联合分布列的每一列的概率相加，得到 $X$ 取各个值的概率。 $P_X(x_i)=P(X=x_i)={\sum }_{j}P(X=x_i,Y=y_j)={\sum }_j{p}_{ij}=p_{i\cdot }$
   • $Y$的边缘分布: 将联合分布列的每一行的概率相加，得到 $Y$ 取各个值的概率。 $P_Y(y_j)=P(Y=y_j)={\sum }_{i}P(X=x_i,Y=y_j)={\sum }_i{p}_{ij}=p_{\cdot j}$

5. 条件分布 (Conditional Distribution):

   • 在已知一个变量取值的条件下，另一个变量的概率分布称为条件分布。
   • 在 $Y=y_j$ 的条件下，$X$ 的条件分布为： $P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$
   • 在 $X=x_i$ 的条件下，$Y$ 的条件分布为： $P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}$

学习要点

• 掌握使用二维表格来表示联合分布列的方法。
• 熟练掌握联合分布列的两个性质：非负性和归一性。
• 核心技能：能够从联合分布列中，通过按行或按列求和的方式，计算出两个变量的边缘分布。
• 核心技能：能够利用联合分布和边缘分布，计算条件分布。

实践应用

例题: 假设一个袋中有2个红球和3个黑球，从中不放回地抽取两次。令 $X$ 为第一次抽到红球的数目（0或1），$Y$ 为第二次抽到红球的数目（0或1）。求 $(X,Y)$ 的联合分布列、边缘分布和条件分布 $P(Y|X=1)$。

解题思路:

1. 计算联合概率 $P(X=i,Y=j)$:
   • $P(X=1,Y=1)$: 第一次红，第二次也红。$P=\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{20}$。
   • $P(X=1,Y=0)$: 第一次红，第二次黑。$P=\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}$。
   • $P(X=0,Y=1)$: 第一次黑，第二次红。$P=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}$。
   • $P(X=0,Y=0)$: 第一次黑，第二次也黑。$P=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}$。
2. 写出联合分布列:

$Y\setminus X$	0	1	$P_Y(y)$
0	6/20	6/20	12/20
1	6/20	2/20	8/20
$P_X(x)$	12/20	8/20	1

3. 计算边缘分布:
   • $X$的边缘分布 (看表格底行): $P(X=0)=12/20=3/5$, $P(X=1)=8/20=2/5$。
   • $Y$的边缘分布 (看表格右列): $P(Y=0)=12/20=3/5$, $P(Y=1)=8/20=2/5$。
4. 计算条件分布 $P(Y|X=1)$:
   • $P(Y=1|X=1)=\frac{P(X=1,Y=1)}{P(X=1)}=\frac{2/20}{8/20}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
   • $P(Y=0|X=1)=\frac{P(X=1,Y=0)}{P(X=1)}=\frac{6/20}{8/20}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
   • 所以，在已知第一次抽到红球的条件下，$Y$的分布列为：

$Y$	0	1
P	3/4	1/4

关联知识点

• 前置知识:
  • 044-核心概念-随机向量
  • 029-核心概念-离散型随机变量与密度阵
• 后续知识:
  • 046-核心概念-边缘分布函数
  • 051-核心概念-条件分布
  • 052-核心概念-随机变量的独立性 (如果 $p_{ij}=p_{i\cdot }\times p_{\cdot j}$ 对所有i,j成立，则X和Y独立)