知识点概述

数学期望（Mathematical Expectation），简称期望（Expectation）或均值（Mean），是随机变量取值的“加权平均值”，其中权重是每个取值对应的概率。它描述了随机变量取值的中心趋势或平均水平，是随机变量最重要的数字特征之一。

教材原文

(教材在第三章标题“数字特征与特征函数”及3.1节标题“数学期望”中引入此概念。其定义是标准概率论内容。)

(从积分形式引入) … $E (ξ) = \int_{Ω} ξ d P$

数学期望的计算方法根据随机变量的类型而有所不同。

定义: 设离散型随机变量 $X$ 的概率质量函数 (PMF) 为 $P (X = x_{k}) = p_{k}$ ( $k = 1, 2, \dots$ )。
如果级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ x_{k} ∣ p_{k}$ 收敛（即绝对收敛），则 $X$ 的数学期望定义为： $E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} x_{k} p_{k}$
直观理解: 将每个可能的取值 $x_{k}$ 与其发生的概率 $p_{k}$ 相乘，然后将所有这些乘积加起来。这正是“加权平均”的思想。

定义: 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数 (PDF) 为 $f (x)$ 。
如果积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x$ 收敛，则 $X$ 的数学期望定义为： $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$
直观理解: 这可以看作是离散求和的连续模拟。 $f (x) d x$ 可以被看作是变量在点 $x$ 附近一个极小区间 $d x$ 内取值的概率，而 $x$ 是这个区间的代表值。积分过程就是将所有这些“取值 $\times$ 概率”的微元累加起来。

求 $Y = g (X)$ 的期望是一个非常常见的问题。有两种方法：

间接法: 先根据054-技术实现-离散型随机变量函数的分布或055-技术实现-连续型随机变量函数的分布求出新变量 $Y$ 的分布，然后利用上面对应的期望定义来计算 $E (Y)$ 。此方法思路清晰但通常计算量较大。
直接法 (懒人公式 / Law of the Unconscious Statistician): 这是一个非常重要的定理，让我们无需计算新变量 $Y$ 的分布，可以直接利用原始变量 $X$ 的分布来计算 $E (Y)$ 。
- 离散型: $E (Y) = E (g (X)) = \sum_{k = 1}^{\infty} g (x_{k}) P (X = x_{k})$
- 连续型: $E (Y) = E (g (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f_{X} (x) d x$
- 直观理解: 计算加权平均时，我们仍然使用原始变量 $X$ 的概率（ $p_{k}$ 或 $f (x) d x$ ）作为权重，但我们将加权的对象从 $x_{k}$ 换成了新的值 $g (x_{k})$ 。

赌博与投资: 一项投资有多种可能的回报率，每种回报率都有其对应的概率。该项投资的期望回报率就是所有可能回报率的加权平均，是评估该投资价值的核心指标。
保险: 保险公司计算保费的基础是每份保单的期望赔付金额。期望赔付 = $\sum$ (各种赔付金额 $\times$ 发生概率)。保费必须高于这个期望赔付才能盈利。
物理学: 在量子力学中，一个可观测量的期望值是其算符在特定量子态下的平均测量结果。

例题: 设连续型随机变量 $X$ 的PDF为 $f (x) = 2 x$ ( $0 < x < 1$ )。求 $E (X)$ 和 $E (X^{2})$ 。

解题思路:

求 $E (X)$ : $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = \int_{0}^{1} x (2 x) d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = [\frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$
求 $E (X^{2})$ (使用懒人公式): 这里 $g (X) = X^{2}$ 。 $E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} x^{2} (2 x) d x = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = [\frac{1}{2} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

前置知识:
- 029-核心概念-离散型随机变量与密度阵
- 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
后续知识:
- 060-理论方法-数学期望的性质
- 062-核心概念-方差与标准差 (方差的定义和计算依赖于期望)
- 068-核心概念-矩(原点矩与中心矩) (期望是一阶原点矩)
- 066-核心概念-条件数学期望