知识点概述

随机变量的独立性是指一个随机变量的取值不会对另一个随机变量的取值概率产生任何影响。这是事件独立性在随机变量层面的自然推广，是概率论和统计学中一个极其重要的概念，它极大地简化了对随机向量的分析。

教材原文

(教材在2.6节标题“随机变量的独立性”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

定义:
- 设 $X$ 和 $Y$ 是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，它们的联合分布函数为 $F (x, y)$ ，各自的边缘分布函数为 $F_{X} (x)$ 和 $F_{Y} (y)$ 。
- 如果对于所有的实数 $x$ 和 $y$ ，都有： $F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)$
- 则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的。
- 这个定义可以推广到n个随机变量： $F (x_{1}, \dots, x_{n}) = F_{X_{1}} (x_{1}) \dots F_{X_{n}} (x_{n})$ 。
等价条件:
- 对于离散型随机变量: $X$ 和 $Y$ 相互独立的充分必要条件是，对于它们所有可能的取值 $x_{i}, y_{j}$ ，其联合概率质量函数等于边缘概率质量函数的乘积。 $P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) P (Y = y_{j})$
- 对于连续型随机变量: $X$ 和 $Y$ 相互独立的充分必要条件是，其联合概率密度函数几乎处处等于边缘概率密度函数的乘积。 $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$
直观理解:
- 独立性意味着关于 $X$ 的信息（例如，知道 $X$ 的取值）不会改变我们对 $Y$ 的概率分布的判断。即 $Y$ 的条件分布与 $Y$ 的边缘分布相同：
  - $P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) = P (Y = y_{j})$
  - $f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = f_{Y} (y)$
- 从联合分布的表格或图形来看，独立性意味着整个联合分布可以由其边缘（“行”和“列”的 totals）完全重建，不存在“交互作用”。

掌握随机变量独立性的核心定义：联合分布 = 边缘分布的乘积。这个思想对分布函数(CDF)、概率质量函数(PMF)和概率密度函数(PDF)都适用。
判断两个随机变量是否独立的方法：
1. 求出联合分布。
2. 求出两个边缘分布。
3. 检验联合分布是否恒等于边缘分布的乘积。如果对于至少一个点 $(x, y)$ 不成立，则它们不独立。
重要: 除非有明确的理论依据（如050-理论方法-二维正态分布中的不相关性），否则不能轻易假设独立性。通常，如果两个变量在物理上或逻辑上有关联，它们就不是独立的。
如果 $X$ 和 $Y$ 独立，那么关于它们各自的函数 $g (X)$ 和 $h (Y)$ 也相互独立。

例题: 假设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合PDF为 $f (x, y) = 8 x y$ ，其中 $0 < x < y < 1$ 。判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。

解题思路:

分析定义域: 这是一个关键步骤。随机变量的取值范围是 $0 < x < y < 1$ 。这是一个三角形区域，而不是一个矩形。如果连续型随机变量的联合定义域不是一个矩形（或可以分解为矩形的并），那么它们一定不是独立的。因为矩形区域意味着 $x$ 和 $y$ 的取值范围互不影响，而非矩形区域意味着一个变量的取值会限制另一个变量的取值范围。
直观判断: 在这个问题中， $x$ 必须小于 $y$ 。这意味着 $X$ 的取值受到了 $Y$ 的限制（反之亦然）。例如，如果已知 $Y = 0.5$ ，那么 $X$ 只能在 $(0, 0.5)$ 中取值，而不能取0.6。既然一个变量的取值影响了另一个变量的取值范围，它们必然不是独立的。
严格证明 (可选):
- 计算边缘PDF $f_{X} (x)$ : $f_{X} (x) = \int_{x}^{1} 8 x y d y = 4 x (1 - x^{2})$ ，其中 $0 < x < 1$ 。
- 计算边缘PDF $f_{Y} (y)$ : $f_{Y} (y) = \int_{0}^{y} 8 x y d x = 4 y^{3}$ ，其中 $0 < y < 1$ 。
- 检验乘积： $f_{X} (x) f_{Y} (y) = 4 x (1 - x^{2}) \cdot 4 y^{3} = 16 x y^{3} (1 - x^{2})$ 。
- 显然， $f (x, y) = 8 x y \neq = 16 x y^{3} (1 - x^{2}) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ 。
- 因此， $X$ 和 $Y$ 不独立。

前置知识:
后续知识:
- 053-理论方法-独立性的等价条件
- 060-理论方法-数学期望的性质 (期望的可乘性 $E (X Y) = E (X) E (Y)$ 需要独立性)
- 064-核心概念-协方差与协方差阵 (独立变量的协方差为0)
- 071-理论方法-独立和的母函数